反函数的定义及性质总结

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　　一、反函数的概念
　　高中数学对函数的研究是以映射的观点来进行的，回顾前面研究映射时我们定义了一个特殊映射.一一映射.
　　若将某映射f:的对应关系调转，只有一一映射能够保证调转后的对应仍是映射，称这一映射
f^-1:为原映射的逆映射.
　　若将前述一一映射限制在数集到数集上，就可以得到我们这里研究的反函数.
　　定义:
　　如果确定函数y=f(x)，x∈A的映射f:A→B(f:y=f(x), x∈A)是从A到B上的一一映射，则它的逆映射f^-1:B→A(f^-1:y→x=f^-1(y), y∈B).
　　所确定的函数y=f^-1(x), x∈B称为y=f(x),x∈A的反函数.
　　二、反函数的性质
　　1．由定义和f(x)存在反函数的充要条件是它的映射为一一映射.
　　如f(x)=x²(x∈R)无反函数（非一一），g(x)=x²+1(x≤0)有反函数，因为它是到[1，+∞）上的一一映射.
　　2．f(x),x∈A和f^-1(x), x∈B互为反函数.
　　3．原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域.
　　4．单调函数具有反函数，因为单调一一映射有反函数.
　　可见函数在区间上具单调性是它有反函数的充分不必要条件.
　　如函数y=(x≠0), 其反函数与自身相同，但它在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具单调性.
　　5．若b=f(a), 则 a=f^-1(b),即(a, b)在函数图象上，则(b, a)在其反函数图像上；反之也对.利用这一点可以把反函数上点的问题转化为研究函数上的点的问题.
　　6．x∈A, f^-1[f(x)]=x; x∈B, f[f^-1(x)]=x.
　　7．原函数与反函数图象关于y=x对称.
　　8．单调函数的反函数与原函数具有相同的单调性.
　　奇函数如果有反函数，则其反函数也是奇函数.需要认识到，奇函数不一定有反函数.
　　如：y=x³-x, 当y=0时x=0, ±1,
　　这不是一一映射，因此不具有反函数.但偶函数是不是一定没有反函数？如y=f(x)，x∈{0}, y∈{0},其图象就是原点.它是偶函数，也具有反函数（即自身）.
　　三、求反函数的一般步骤
　　1．求D,因为原函数的值域R是反函数的定义域，这定义域在结论中是必须指出的.
　　2．在原函数的解析式中反求x，写成x=g(y).
　　3．x, y互换，即将反函数写成y=g(x)因为习惯上通常将x作为自变量.
　　4．下结论（注意给出反函数定义域）
 

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