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空间向量及其应用
一.课标要求:
(1)空间向量及其运算
① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程;
② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;
③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;
④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
(2)空间向量的应用
① 理解直线的方向向量与平面的法向量;
② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系;
③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);
④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。
二.命题走向
本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容,高考对本讲的考察形式为:以客观题形式考察空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测07年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。
三.要点精讲
1.空间向量的概念
向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。
相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。
2.向量运算和运算率
加法交换率:
加法结合率:
数乘分配率:
说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。 平行于 记作 ∥ 。
注意:当我们说 、 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说 、 平行时,也具有同样的意义。
共线向量定理:对空间任意两个向量 ( ≠ )、 , ∥ 的充要条件是存在实数 使 =
注:⑴上述定理包含两个方面:①性质定理:若 ∥ ( ≠0),则有 = ,其中 是唯一确定的实数。②判断定理:若存在唯一实数 ,使 = ( ≠0),则有 ∥ (若用此结论判断 、 所在直线平行,还需 (或 )上有一点不在 (或 )上)。
⑵对于确定的 和 , = 表示空间与 平行或共线,长度为 | |,当 >0时与 同向,当 <0时与 反向的所有向量。
⑶若直线l∥ , ,P为l上任一点,O为空间任一点,下面根据上述定理来推导 的表达式。
推论:如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式
①
其中向量 叫做直线l的方向向量。
在l上取 ,则①式可化为 ②
当 时,点P是线段AB的中点,则 ③
①或②叫做空间直线的向量参数表示式,③是线段AB的中点公式。
注意:⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础,也是常用的直线参数方程的表示形式;⑵推论的用途:解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。
4.向量与平面平行:如果表示向量 的有向线段所在直线与平面 平行或 在 平面内,我们就说向量 平行于平面 ,记作 ∥ 。注意:向量 ∥ 与直线a∥ 的联系与区别。
共面向量:我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理 如果两个向量 、 不共线,则向量 与向量 、 共面的充要条件是存在实数对x、y,使 ①
注:与共线向量定理一样,此定理包含性质和判定两个方面。
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y,使
④
或对空间任一定点O,有 ⑤
在平面MAB内,点P对应的实数对(x, y)是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。
又∵ 代入⑤,整理得
⑥
由于对于空间任意一点P,只要满足等式④、⑤、⑥之一(它们只是形式不同的同一等式),点P就在平面MAB内;对于平面MAB内的任意一点P,都满足等式④、⑤、⑥,所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量 、 (或不共线三点M、A、B)确定的空间平面的向量参数方程,也是M、A、B、P四点共面的充要条件。
5.空间向量基本定理:如果三个向量 、 、 不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使
说明:⑴由上述定理知,如果三个向量 、 、 不共面,那么所有空间向量所组成的集合就是 ,这个集合可看作由向量 、 、 生成的,所以我们把{ , , }叫做空间的一个基底, , , 都叫做基向量;⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底;⑶一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同的概念;⑷由于 可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面就隐含着它们都不是 。
推论:设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组 ,使
6.数量积
(1)夹角:已知两个非零向量 、 ,在空间任取一点O,作 , ,则角∠AOB叫做向量 与 的夹角,记作
说明:⑴规定0≤ ≤ ,因而 = ;
⑵如果 = ,则称 与 互相垂直,记作 ⊥ ;
⑶在表示两个向量的夹角时,要使有向线段的起点重合,注意图(3)、(4)中的两个向量的夹角不同,
图(3)中∠AOB= ,
图(4)中∠AOB= ,
从而有 = = .
(2)向量的模:表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
(3)向量的数量积: 叫做向量 、 的数量积,记作 。
即 = ,
向量 :
(4)性质与运算率
⑴ 。 ⑴
⑵ ⊥ =0 ⑵ =
⑶ ⑶
四.典例解析
题型1:空间向量的概念及性质
例1.有以下命题:①如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 的关系是不共线;② 为空间四点,且向量 不构成空间的一个基底,那么点 一定共面;③已知向量 是空间的一个基底,则向量 ,也是空间的一个基底。其中正确的命题是( )
①② ①③ ②③ ①②③
解析:对于①"如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 的关系一定共线";所以①错误。②③正确。
点评:该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件,为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。
例2.下列命题正确的是( )
若 与 共线, 与 共线,则 与 共线;
向量 共面就是它们所在的直线共面;
零向量没有确定的方向;
若 ,则存在唯一的实数 使得 ;
解析:A中向量 为零向量时要注意,B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样,D中需保证 不为零向量。
答案C。
点评:零向量是一个特殊的向量,时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质,要兼顾。
题型2:空间向量的基本运算
例3.如图:在平行六面体 中, 为 与 的交点。若 , , ,则下列向量中与 相等的向量是( )
解析:显然 ;
答案为A。
点评:类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的加法.考查学生的空间想象能力。
例4.已知: 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.
解: ∥ ,,且 即
又 不共面,
点评:空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理。
题型3:空间向量的坐标
例5.(1)已知两个非零向量 =(a1,a2,a3), =(b1,b2,b3),它们平行的充要条件是( )
A. :| |= :| | B.a1·b1=a2·b2=a3·b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k,使 =k
(2)已知向量 =(2,4,x), =(2,y,2),若| |=6, ⊥ ,则x+y的值是( )
A. -3或1 B.3或-1 C. -3 D.1
(3)下列各组向量共面的是( )
A. =(1,2,3), =(3,0,2), =(4,2,5)
B. =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1)
C. =(1,1,0), =(1,0,1), =(0,1,1)
D. =(1,1,1), =(1,1,0), =(1,0,1)
解析:(1)D;点拨:由共线向量定线易知;
(2)A 点拨:由题知 或 ;
(3)A 点拨:由共面向量基本定理可得。
点评:空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。
例6.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4)。设 = , = ,(1)求 和 的夹角 ;(2)若向量k + 与k -2 互相垂直,求k的值.
思维入门指导:本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要求的结果.
解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4), = , = ,
∴ =(1,1,0), =(-1,0,2).
(1)cos = = - ,
∴ 和 的夹角为- 。
(2)∵k + =k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),
k -2 =(k+2,k,-4),且(k + )⊥(k -2 ),
∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0。
则k=- 或k=2。
点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做。( + )(k -2 )=k2 2-k · -2 2=2k2+k-10=0,解得k=- ,或k=2。
题型4:数量积
例7.(2000江西、山西、天津理,4)设 、 、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①( · ) -( · ) = ②| |-| |<| - | ③( · ) -( · ) 不与 垂直
④(3 +2 )(3 -2 )=9| |2-4| |2中,是真命题的有( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
答案:D
解析:①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;
②由向量的减法运算可知| |、| |、| - |恰为一个三角形的三条边长,由"两边之差小于第三边",故②真;
③因为[( · ) -( · ) ]· =( · ) · -( · ) · =0,所以垂直.故③假;
④(3 +2 )(3 -2 )=9· · -4 · =9| |2-4| |2成立.故④真.
点评:本题考查平面向量的数量积及运算律。
例8.(1)(2009上海文,理2)已知向量 和 的夹角为120°,且| |=2,| |=5,则(2 - )· =_____.
(2)设空间两个不同的单位向量 =(x1,y1,0), =(x2,y2,0)与向量 =(1,1,1)的夹角都等于 。(1)求x1+y1和x1y1的值;(2)求< , >的大小(其中0<< , ><π 。
解析:(1)答案:13;解析:∵(2 - )· =2 2- · =2| |2-| |·| |·cos120°=2·4-2·5(- )=13。
(2)解:(1)∵| |=| |=1,∴x +y =1,∴x =y =1.
又∵ 与 的夹角为 ,∴ · =| || |cos = = .
又∵ · =x1+y1,∴x1+y1= 。
另外x +y =(x1+y1)2-2x1y1=1,∴2x1y1=( )2-1= .∴x1y1= 。
(2)cos< , >= =x1x2+y1y2,由(1)知,x1+y1= ,x1y1= .∴x1,y1是方程x2- x+ =0的解.
∴ 或 同理可得 或
∵ ≠ ,∴ 或
∴cos< , >= · + · = + = .
∵0≤< , >≤π,∴< , >= 。
评述:本题考查向量数量积的运算法则。
题型5:空间向量的应用
例9.(1)已知a、b、c为正数,且a+b+c=1,求证: + + ≤4 。
(2)已知F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若F1,F2,F3共同作用于同一物体上,使物体从点M1(1,-2,1)移到点M2(3,1,2),求物体合力做的功。
解析:(1)设 =( , , ), =(1,1,1),
则| |=4,| |= .
∵ · ≤| |·| |,
∴ · = + + ≤| |·| |=4 .
当 = = 时,即a=b=c= 时,取"="号。
(2)解:W=F·s=(F1+F2+F3)· =14。
点评:若 =(x,y,z), =(a,b,c),则由 · ≤| |·| |,得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查| |·| |≥ · 的应用,解题时要先根据题设条件构造向量 , ,然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。
例10.如图,直三棱柱 中, 求证:
证明:
同理
又
设 为 中点,则
又
点评:从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题,要用到空间多边形法则,向量的运算,数量积以及平行,相等和垂直的条件。
五.思维总结
本讲内容主要有空间直角坐标系,空间向量的坐标表示,空间向量的坐标运算,平行向量,垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底{i,j,k}建立坐标系,对于O点的选取要既有作图的直观性,而且使各点的坐标,直线的坐标表示简化,要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质;空间向量的坐标运算同平面向量类似,具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样,实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积a·b=|a|·|b|cos<a,b>在二维、三维都是这样定义的,不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样,但实质是一致的,即对应坐标成比例,且比值为 ,对于中点公式要熟记。
对本讲内容的考查主要分以下三类:
1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质
此类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。
2.向量在空间中的应用
在空间坐标系下,通过向量的坐标的表示,运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。
在复习过程中,抓住源于课本,高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题,即源于课本。因此,掌握双基、精通课本是本章关键。
希望
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