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判别一元二次方程根的情况教案
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教学内容
用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况及其运用.
教学目标
掌握b2-4ac>0,ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实根,反之也成立;b2-4ac=0,ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,反之也成立;b2-4ac<0,ax2+bx+c=0(a≠0)没实根,反之也成立;及其它们关系的运用.
通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题,分析它们根的情况,从具体到一般,给出三个结论并应用它们解决一些具体题目.
重难点关键
1.重点:b2-4ac>0 一元二次方程有两个不相等的实根;b2-4ac=0 一元二次方程有两个相等的实数;b2-4ac<0 一元二次方程没有实根.
2.难点与关键
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的b2-4ac的情况与根的情况的关系.
教具、学具准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
(学生活动)用公式法解下列方程.
(1)2x2-3x=0 (2)3x2-2 x+1=0 (3)4x2+x+1=0
老师点评,(三位同学到黑板上作)老师只要点评(1)b2-4ac=9>0,有两个不相等的实根;(2)b2-4ac=12-12=0,有两个相等的实根;(3)b2-4ac=│-4×4×1│=<0,方程没有实根.
二、探索新知
方程 b2-4ac的值 b2-4ac的符号 x1、x2的关系
(填相等、不等或不存在)
2x2-3x=0
3x2-2 x+1=0
4x2+x+1=0
请观察上表,结合b2-4ac的符号,归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。
从前面的具体问题,我们已经知道b2-4ac>0(<0,=0)与根的情况,现在我们从求根公式的角度来分析:
求根公式:x= ,当b2-4ac>0时,根据平方根的意义, 等于一个具体数,所以一元一次方程的x1= ≠x1= ,即有两个不相等的实根.当b2-4ac=0时,根据平方根的意义 =0,所以x1=x2= ,即有两个相等的实根;当b2-4ac<0时,根据平方根的意义,负数没有平方根,所以没有实数解.
因此,(结论)(1)当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等实数根即x1= ,x2= .
(2)当b-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根即x1=x2= .
(3)当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
例1.不解方程,判定方程根的情况
(1)16x2+8x=-3 (2)9x2+6x+1=0
(3)2x2-9x+8=0 (4)x2-7x-18=0
分析:不解方程,判定根的情况,只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可.
解:(1)化为16x2+8x+3=0
这里a=16,b=8,c=3,b2-4ac=64-4×16×3=-128<0
所以,方程没有实数根.
三、巩固练习
不解方程判定下列方程根的情况:
(1)x2+10x+26=0 (2)x2-x- =0 (3)3x2+6x-5=0 (4)4x2-x+ =0
(5)x2- x- =0 (6)4x2-6x=0 (7)x(2x-4)=5-8x
四、应用拓展
例2.若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3>0的解集(用含a的式子表示).
分析:要求ax+3>0的解集,就是求ax>-3的解集,那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根,即(-2a)2-4(a-2)(a+1)<0就可求出a的取值范围.
解:∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根.
∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8<0
a<-2
∵ax+3>0即ax>-3
∴x<-
∴所求不等式的解集为x<-
五、归纳小结
本节课应掌握:
b2-4ac>0 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根;b2-4ac=0 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根;b2-4ac<0 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根及其它的运用.
六、布置作业
1.教材P46 复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2.
2.选用课时作业设计.
第7课时作业设计
一、选择题
1.以下是方程3x2-2x=-1的解的情况,其中正确的有( ).
A.∵b2-4ac=-8,∴方程有解
B.∵b2-4ac=-8,∴方程无解
C.∵b2-4ac=8,∴方程有解
D.∵b2-4ac=8,∴方程无解
2.一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等,则a的值为( ).
A.a=0 B.a=2或a=-2
C.a=2 D.a=2或a=0
3.已知k≠1,一元二次方程(k-1)x2+kx+1=0有根,则k的取值范围是( ).
A.k≠2 B.k>2 C.k<2且k≠1 D.k为一切实数
二、填空题
1.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数,则p与q的关系是________.
2.不解方程,判定2x2-3=4x的根的情况是______(填"二个不等实根"或"二个相等实根或没有实根").
3.已知b≠0,不解方程,试判定关于x的一元二次方程x2-(2a+b)x+(a+ab-2b2)=0的根的情况是________.
三、综合提高题
1.不解方程,试判定下列方程根的情况.
(1)2+5x=3x2 (2)x2-(1+2 )x+ +4=0
2.当c<0时,判别方程x2+bx+c=0的根的情况.
3.不解方程,判别关于x的方程x2-2kx+(2k-1)=0的根的情况.
4.某集团公司为适应市场竞争,赶超世界先进水平,每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金,该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元,2009年销售总额为7.2亿元,求该集团2000年到2009年的年销售总额的平均增长率.
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希望
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