指数

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指数

    教学目标
    1.理解分数指数的概念,把握有理指数幂的运算性质.
    (1) 理解n次方根,n次根式的概念及其性质,能根据性质进行相应的根式计算.
    (2) 能熟悉到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广,了解它是根式的一种新的写法,能正确进行根式与分数指数幂的互化.
    (3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算.
    2.通过指数范围的扩大,使学生能理解运算的本质,熟悉到知识之间的联系和转化,熟悉到符号化思想的重要性,在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力.
    3.通过对根式与分数指数幂的关系的熟悉,使学生能学会透过表面去认清事物的本质.
    教学建议
    教材分析
    (1)本节的教学重点是分数指数幂的概念及其运算性质.教学难点是根式的概念和分数指数幂的概念.
    (2)由于分数指数幂的概念是借助 次方根给出的,而 次根式, 次方根又是学生刚刚接触到的概念,也是比较生疏的.以此为基础去学习熟悉新知识自然是比较困难的.且 次方根,分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的,学生在接受理解上也是比较困难的.基于以上原因,根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点.
    (3)学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数,为指数函数的研究作好预备.且有理指数幂具备的运算性质还可以推广到无理指数幂,也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围,为对数运算的出现作好了预备,而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入.
    教法建议
    (1)根式概念的引入是本节教学的关键.为了让学生感到根式的学习是很自然也很必要的,不妨在设计时可以考虑以下几点:
    ①先以具体数字为例,复习正整数幂,介绍各部分的名称及运算的本质是乘方,让它与学生熟悉的运算联系起来,树立起转化的观点.
    ②当复习负指数幂时,由于与乘除共同有关,所以出现了分式,这样为分数指数幂的运算与根式相关作好预备.
    ③在引入根式时可先由学生知道的平方根和立方根入手,再大胆写出 即谁的四次方根等于16.指出2和2是它的四次方根后再把指数换成 ,写成 即谁的 次方等于 ,在语言描述的同时,也把数学的符号语言自然的给出.
    (2)在 次方根的定义中并没有将 次方根符号化原因是结论的多样性,不能乱表示,所以需要先研究规律,再把它符号化.按这样的研究思路学生对 次方根的熟悉逐层递进,直至找出运算上的规律.
    教学设计示例
    课题 根式
    教学目标:
    1.理解 次方根和 次根式的概念及其性质,能根据性质进行简单的根式计算.
    2.通过对根式的学习,使学生能进一步认清各种运算间的联系,提高归纳,概括的能力.
    3.通过对根式的化简,使学生了解由非凡到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想.
    教学重点难点:
    重点是 次方根的概念及其取值规律.
    难点是 次方根的概念及其运算根据的研究.
    教学用具:投影仪
    教学方法:启发探索式.
    教学过程:
    一. 复习引入
    今天我们将学习新的一节指数.指数与其说它是一个概念,不如说它是一种重要的运算,且这种运算在初中曾经学习过,今天只不过把它进一步向前发展.
    下面从我们熟悉的指数的复习开始.能举一个具体的指数运算的例子吗?
    以 为例,是指数运算要求学生指明各部分的名称,其中2称为底数,4为指数, 称为幂.
    教师还可引导学生回顾指数运算的由来,是从乘方而来,因此最初指数只能是正整数,同时引出正整数指数幂的定义. .然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义,分别写出 及 ,同时追问这里 的由来.最后将三条放在一起,用投影仪打出整数指数幂的概念
    2.5指数(板书)
    1. 关于整数指数幂的复习
    (1) 概念
    既然是一种运算,除了定义之外,自然要给出它的运算规律,再往返顾一下关于整数指数幂的运算性质.可以找一个学生说出相应的运算性质,教师用投影仪依次打出:
    (2) 运算性质: ; ; .
    复习后直接提出新课题,今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围.在刚才的复习我们已经看到当指数在整数范围内时,运算最多也就是与分式有关,假如指数推广到分指数会与什么有关呢?应与根式有关.初中时虽然也学过一点根式,但不够用,因此有必要先从根式说起.
    2. 根式(板书)
    我们知道根式来源于开方,开方是乘方的逆运算,所以谈根式还是先从大家熟悉的乘方说起.
    如
    假如给出了4和2进行运算,那就是乘方运算.假如是知道了16和2,求4即 ,求?
    问题也就是: 谁的平方是16 ,大家都能回答是4和4,这就是开方运算,且4和4 有个名字叫16的平方根.
    再如
    知3和8,问题就是谁的立方是8?这就是开方运算,大家也知道结果为2,同时指出2叫做8的立方根.
    (根据情况教师可再适当举几个例子,如 ,要求学生用语言描述式子的含义,I再说出结果分别为 和2,同时指出它们分别称为9的四次方根和8的立方根)
    在以上几个式子会解释的基础上,提出 即一个数的 次方等于 ,求这个数,即开 次方,那么这个数叫做 的 次方根.
    (1) 次方根的定义:假如一个数的 次方等于 ( ,那么这个数叫做 的 次方根.
    (板书)
    对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示,请同学们试试看.
    由学生翻译为:若 ( ,则 叫做 的 次方根.(把它补在定义的后面)
    翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底,如结论中的 的 次方根就没有用符号表示,原因是什么?(假如学生不知从何入手,可引导学生回到刚才的几个例子,在符号表示上存在的问题,并一起研究解决的办法)最终把问题引向对 的 次方根的取值规律的研究.
    (2) 的 次方根的取值规律: (板书)
    先让学生看到 的 次方根的个数是由 的奇偶性决定的,所以应对 分奇偶情况讨论
    当 为奇数时,再问学生 的 次方根是个什么样的数,与谁有关,再提出对 的正负的讨论,从而明确分类讨论的标准,按 的正负分为三种情况.
    Ⅰ当 为奇数时
    , 的 次方根为一个正数;
    , 的 次方根为一个负数;
    , 的 次方根为零. (板书)
    当奇数情况讨论完之后,再用几个具体例子辅助说明 为偶数时的结论,再由学生总结归纳
    Ⅱ当 为偶数时
    , 的 次方根为两个互为相反数的数;
    , 的 次方根不存在;
    , 的 次方根为零.
    对于这个规律的总结,还可以先看 的正负,再分 的奇偶,换个角度加深理解.
    有了这个规律之后,就可以用准确的数学符号去描述 次方根了.
    (3) 的 次方根的符号表示 (板书)
    可由学生试说一说,若学生说不好,教师可与学生一起总结,当 为奇数时,由于无论 为何值, 次方根都只有一个值,可用统一的符号 表示,此时要求学生解释符号的含义: 为正数,则 为一个确定的正数, 为负数, 则 为一个确定的负数, 为零,则 为零.
    当 为偶数时, 为正数时,有两个值,而 只能表示其中一个且应表示是正的,另一个应与它互为相反数,故只需在前面放一个负号,写成 ,其含义为 为偶数时,正数的 次方根有两个分别为 和 .
    为了加深对符号的熟悉,还可以提出这样的问题: 一定表示一个正数吗? 中的 一定是正数或非负数吗?让学生往返答,在回答中进一步认清符号的含义,再从另一个角度进行总结 .对于符号 ,当 为偶数是,它有意义的条件是 ;当 为奇数时,它有意义的条件时 .
    把 称为根式,其中 为根指数, 叫做被开方数.(板书)
    (4) 根式运算的依据 (板书)
    由于 是个数值,数值自然要进行运算,运算就要有根据,因此下面有必要进一步研究根式运算的依据.但我们并不过分展开,只研究一些最基本的最简单的依据.
    如 应该得什么?有学生讲出理由,根据 次方根的定义,可得Ⅰ = .(板书)
    再问: 应该得什么?也得 吗?
    若学生想不清楚,可用具体例子提示学生,如 吗? 吗?让学生能发现结果与 有关,从而得到Ⅱ = .(板书)
    为进一步熟悉这个运算依据,下面通过练习来体会一下.
    三.巩固练习
    例1. 求值
    (1) . (2) .
    (3) . (4) .
    (5) .(
    要求学生口答,并说出简要步骤.
    四.小结
    1. 次方根与 次根式的概念
    2.二者的区别
    3.运算依据
    五.作业 略
    六.板书设计
    2.5指数 (2)取值规律 (4)运算依据
    1. 复习
    2. 根式 (3)符号表示 例1
    (1)定义

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